Để xác định số dư của phép chia \( A \) cho 2, hãy xem xét biểu thức \( A = n^2 + n + 3 \).

Chúng ta sẽ phân tích từng thành phần của \( A \) theo tính chẵn lẻ:

1. **Xét \( n^2 \)**:
- Nếu \( n \) chẵn (ví dụ \( n = 2k \)): \( n^2 \) chẵn.
- Nếu \( n \) lẻ (ví dụ \( n = 2k + 1 \)): \( n^2 \) lẻ.

2. **Xét \( n \)**:
- Nếu \( n \) chẵn: \( n \) chẵn.
- Nếu \( n \) lẻ: \( n \) lẻ.

3. **Tổng hợp \( A = n^2 + n + 3 \)**:
- Nếu \( n \) chẵn:
- \( n^2 \) chẵn, \( n \) chẵn → \( n^2 + n \) chẵn.
- \( n^2 + n + 3 \) thì lẻ (vì 3 lẻ), nên \( A \equiv 1 \mod 2 \).

- Nếu \( n \) lẻ:
- \( n^2 \) lẻ, \( n \) lẻ → \( n^2 + n \) chẵn.
- \( n^2 + n + 3 \) thì lẻ, nên \( A \equiv 1 \mod 2 \).

Do đó, cho cả hai trường hợp, số dư của phép chia số \( A \) cho 2 đều là 1.

**Kết luận**:
Số dư của phép chia \( A \) cho 2 là 1.