Tính diện tích hình thoi ABCD. Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn PQ

Để tính diện tích hình thoi ABCD và độ dài nhỏ nhất của đoạn PQ, chúng ta sẽ làm như sau:

### a) Tính diện tích hình thoi ABCD

Diện tích hình thoi được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
\]

Trong đó \( d_1 \) và \( d_2 \) là độ dài hai đường chéo. Chúng ta đã biết \( AC = 20 \, cm \).

Để tìm \( d_2 \) (đường chéo BD), ta sử dụng độ dài đường chéo và góc giữa chúng. Gọi bán kính của hình thoi là \( h \) (chiều cao tương ứng với cạnh).

Chiều cao \( h \) có thể tính bằng công thức:

\[
h = AC \cdot \sin(BAD)
\]

Với \( AC = 20 \) cm và \( BAD = 60^\circ \):

\[
h = 20 \cdot \sin(60^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, cm
\]

Ta cũng biết \( d_1 = AC = 20 \, cm \) và chiều cao \( h \) chia hình thoi thành hai tam giác vuông, từ đó có thể tính \( BD \):

\[
S = 20 \cdot h = 20 \cdot 10\sqrt{3} = 200\sqrt{3} \, cm^2
\]

### b) Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn PQ

Đoạn PQ là hình chiếu vuông góc của điểm N lên hai đường chéo BD và AC. Để tìm độ dài nhỏ nhất của PQ:

1. **Bỏ qua chiều cao**: Do đoạn PQ thể hiện chiều cao từ điểm N vuông góc với AC và BD. Tối ưu hóa đoạn PQ chính là chiều cao từ N xuống AC hoặc BD.
2. **Tính toán**: Theo định lý hình học, độ dài PQ phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm N đến các đường chéo.

Sử dụng độ dài đường chéo, tối thiểu hóa PQ sẽ thuộc vào khoảng cách từ N đến đường chéo. Để an toàn, PQ lớn nhất là chiều cao h từ N xuống AC.

Do đó, độ dài PQ nhỏ nhất:

\[
PQ_{min} = h = 10\sqrt{3} \, cm
\]

### Kết luận
- Diện tích hình thoi ABCD là \( 200\sqrt{3} \, cm^2 \).
- Độ dài nhỏ nhất của đoạn PQ là \( 10\sqrt{3} \, cm \).