Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau đây.

1. **Xác định chiều dài và chiều rộng của miếng bìa:**

Gọi chiều rộng của miếng bìa là \( x \) (cm).
Khi đó, chiều dài sẽ là \( x + 6 \) (cm).

Theo công thức chu vi hình chữ nhật:
\[
\text{Chu vi} = 2 \times (\text{Chiều dài} + \text{Chiều rộng}) = 72 \, \text{cm}
\]
Thay chiều dài và chiều rộng vào công thức:
\[
2 \times (x + (x + 6)) = 72
\]
Rút gọn phương trình:
\[
2 \times (2x + 6) = 72
\]
\[
2x + 6 = 36
\]
\[
2x = 30
\]
\[
x = 15
\]
Vậy chiều rộng là \( 15 \) cm, chiều dài sẽ là:
\[
x + 6 = 15 + 6 = 21 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích của miếng bìa:**
\[
\text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 21 \times 15
\]
\[
= 315 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính diện tích phần miếng bìa Lan cắt được:**
Lan cắt 2/3 miếng bìa, do đó diện tích phần cắt được là:
\[
\text{Diện tích cắt} = \frac{2}{3} \times 315
\]
\[
= 210 \text{ cm}^2
\]

**Kết luận:**
Diện tích của phần miếng bìa Lan cắt được để gấp hộp là **210 cm²**.