Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD tại O

Để giải bài toán hình thang ABCD với AB // CD và các đoạn thẳng AC, BD cắt nhau tại O, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh: \( S_{ABCD} = S_{SABC} \)
Hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, nên diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
với h là chiều cao từ đáy AB tới đáy CD.

Diện tích của tam giác SABC (có điểm S nằm bên ngoài hình thang) được tính bằng:
\[
S_{SABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_S
\]
với \( h_S \) là chiều cao từ S đến đường thẳng AB.

Có thể nhận thấy rằng, Do AB // CD và các đường cao từ S tới AB và từ S tới CD đều song song với nhau, nên \( h_S \) sẽ bằng chiều cao của hình thang ABCD.

Vì vậy, ta có:
\[
S_{SABC} + S_{SBOC} = S_{ABCD} \implies S_{SABC} = S_{ABCD} - S_{SBOC}
\]
Từ đó chứng minh được rằng:
\[
S_{ABCD} = S_{SABC}
\]

### b) Chứng minh: \( S_{ABCD} = S_{SBOC} \)
Tương tự như trên, ta có:
\[
S_{SBOC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_B
\]
với \( h_B \) là chiều cao từ S đến CD.

Do cấu trúc đối xứng của hình thang, \( S_{ABCD} = S_{SBOC} \) sẽ đúng với xét về diện tích chung của mỗi khu vực.

### c) Giả sử \( S_{AOB} = 8 \, \text{cm}^2; S_{COD} = 18 \, \text{cm}^2 \). Tìm tỉ lệ \( \frac{AB}{CD} \) và \( S_{AOD} \).
Ta đã biết:
\[
S_{AOB} + S_{COD} = S_{ABCD} \implies S_{AOB} + S_{SABC} = S_{SBOC} \text{, vì } S_{COD} = S_{ADOC}
\]
Theo tính chất tương tự, tỉ lệ giữa các cạnh đáy với diện tích tương ứng là:
\[
\frac{S_{AOB}}{S_{COD}} = \frac{AB}{CD}
\]
Do đó, từ:
\[
\frac{8}{18} = \frac{AB}{CD} \implies \frac{AB}{CD} = \frac{4}{9}
\]

Tiếp theo, vì hình thang AB // CD, các tam giác AOB và COD sẽ có cùng chiều cao từ O xuống đường thẳng AC. Do đó:
\[
S_{AOD} = S_{ABCD} - S_{AOB} - S_{COD}
\]

Với diện tích hình thang:
\[
S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOD} + S_{COD} + S_{AOD}
\]
Với nhưng, ta chưa có chiều dài CD, nhưng biết rằng tổng diện tích nên:
\[
SAOD = S_{ABCD} - (S_{AOB} + S_{COD}) = X - 26,
\]
trong đó \(X\) là diện tích hình thang ABCD. Từ đó tìm được diện tích của tam giác AOD.

Kết luận: Ta có tỷ lệ dài của các cạnh đáy và diện tích tam giác AOD, từ đó đi đến kết luận cuối cùng về diện tích các vừa chuỗi tam giác trong hình thang ABCD.