Tìm số tự nhiên \( n \) biết \( 2M = 3^n \). Khảo sát \( n \)

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2M = 3^n \), ta cần biết thêm thông tin về \( M \).

Từ biểu thức của \( M \) được cho:

\[
M = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^n
\]

Đây là một chuỗi số hình học với công bội \( r = 3 \), số hạng đầu là \( 3^1 = 3 \) và số hạng cuối là \( 3^n \). Tổng của chuỗi này được tính bằng công thức tổng của dãy hình học:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu
- \( r \) là công bội
- \( n \) là số hạng

Áp dụng vào đây:

\[
M = 3 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 3 \cdot \frac{3^n - 1}{2}
\]

Do đó:

\[
M = \frac{3^{n+1} - 3}{2}
\]

Thay vào phương trình \( 2M = 3^n \):

\[
2 \cdot \frac{3^{n+1} - 3}{2} = 3^n
\]

Đơn giản hóa:

\[
3^{n+1} - 3 = 3^n
\]

Giải phương trình này ta có:

\[
3^{n+1} - 3^n - 3 = 0
\]
\[
3^n(3 - 1) = 3
\]
\[
3^n = 3
\]

Từ đó, suy ra:

\[
n = 1
\]

Vậy số tự nhiên \( n \) thoả mãn \( 2M = 3^n \) là \( n = 1 \).