Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), ta có:

\[
f(x) = 2x^2 - x + 2
\]
\[
g(x) = x + 1
\]

Ta cần kiểm tra điều kiện:

\[
f(x) \mod g(x) = 0
\]

Đầu tiên, ta tìm giá trị của \( g(x) \):

\[
g(x) = x + 1
\]

Bây giờ, ta xét \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) = x + 1 \) bằng cách thay \( x = -1 \):

\[
f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 2 = 2 \cdot 1 + 1 + 2 = 5
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( g(-1) \):

\[
g(-1) = -1 + 1 = 0
\]

Vì \( g(-1) = 0 \), ta không thể sử dụng \( x = -1 \) để kiểm tra. Thay vào đó, ta kiểm tra các giá trị nguyên khác của \( x \).

Ta cũng có thể viết điều kiện:

\[
f(x) = k(g(x)) \quad (k là số nguyên)
\]

Dễ thấy từ hai phương trình, sử dụng phép chia và xét các giá trị \( x \) khác nhau cho tới khi \( f(x) \mod g(x) = 0 \).

Ta thử các giá trị nguyên khác nhau:

- Với \( x = 0 \):
\[
f(0) = 2 \cdot 0^2 - 0 + 2 = 2 \quad g(0) = 1 \Rightarrow 2 \mod 1 = 0
\]
- Với \( x = 1 \):
\[
f(1) = 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 3 \quad g(1) = 2 \Rightarrow 3 \mod 2 = 1
\]
- Với \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 6 \quad g(2) = 3 \Rightarrow 6 \mod 3 = 0
\]
- Với \( x = -2 \):
\[
f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - (-2) + 2 = 10 \quad g(-2) = -1 \Rightarrow 10 \mod -1 = 0
\]

Như vậy, các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện là \( x = 0, 2, -2 \).