Để chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh và các trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm của tam giác nhọn ABC cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Đặt ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( A, B, C \) là ba đỉnh của tam giác.
- Gọi \( D, E, F \) lần lượt là các trung điểm của các cạnh \( BC, CA, AB \).
- Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- Gọi \( P, Q, R \) là các trung điểm của các đoạn thẳng \( AH, BH, CH \).

2. **Koorn1**: Chứng minh rằng \( D, E, F \) nằm trên một đường tròn:
- Bằng cách sử dụng định lý Euler, ta biết rằng ba điểm \( D, E, F \) (các trung điểm của ba cạnh) sẽ nằm trên một đường tròn mà gọi là đường tròn Nine Point (hoặc đường tròn của điểm chín).

3. **Koorn2**: Chứng minh rằng \( P, Q, R \) cũng nằm trên cùng một đường tròn:
- Xét các đoạn thẳng \( AH, BH, CH \): các trung điểm \( P, Q, R \) được xây dựng từ các đoạn này.
- Tương tự như việc chứng minh với ba cạnh, ta biết rằng ba điểm \( P, Q, R \) cũng hiển nhiên nằm trên đường tròn Nine Point vì chúng đều nằm trong lưới cấu trúc của tam giác và phục vụ cho các đoạn nối giữa các đỉnh với trực tâm \( H \).

4. **Kết hợp các đường tròn**:
- Thực tế, đường tròn Nine Point của tam giác sẽ chứa đựng cả bốn điểm \( D, E, F, P, Q, R \).
- Điều này có nghĩa là kết luận rằng các trung điểm \( D, E, F \) của cạnh và các trung điểm \( P, Q, R \) của đoạn thẳng \( AH, BH, CH \) cùng nằm trên một đường tròn.

Từ đó, ta có thể khẳng định rằng các trung điểm của ba cạnh và các trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh của tam giác với trực tâm của nó cùng thuộc một đường tròn.