Để tìm số tự nhiên \( a \) sao cho số \( 20a20a20a \) chia hết cho 75, chúng ta cần xem xét điều kiện chia hết cho cả 3 và 25.

1. **Chia hết cho 25**: Một số chia hết cho 25 nếu hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 25. Trong trường hợp này, số \( 20a20a20a \) có hai chữ số tận cùng là \( aa \). Vậy \( aa \) cần phải là một trong các số \( 00, 25, 50, 75 \). Ta có các trường hợp:
- \( aa = 00 \) \( \Rightarrow a = 0 \)
- \( aa = 25 \) \( \Rightarrow a = 2 \)
- \( aa = 50 \) \( \Rightarrow a = 5 \)
- \( aa = 75 \) \( \Rightarrow a = 7 \) (không hợp lệ vì a là chữ số)

Vậy có thể có các giá trị \( a = 0, 2, 5 \).

2. **Chia hết cho 3**: Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Tổng các chữ số của \( 20a20a20a \) là \( 2 + 0 + a + 2 + 0 + a + 2 + 0 + a = 6 + 3a \). Vậy ta có điều kiện:
\[
6 + 3a \equiv 0 \mod 3
\]
Trong trường hợp này, \( 6 \equiv 0 \mod 3 \), do đó \( 3a \equiv 0 \mod 3 \) luôn đúng. Vậy điều kiện chia hết cho 3 không giới hạn \( a \).

Vậy chúng ta chỉ cần kiểm tra các giá trị của \( a = 0, 2, 5 \) thỏa mãn cho điều kiện chia hết cho 75.

- \( a = 0 \): Số là 200200200, chia hết cho 75
- \( a = 2 \): Số là 202202202, chia hết cho 75
- \( a = 5 \): Số là 205205205, chia hết cho 75

Vậy số tự nhiên \( a \) thỏa mãn điều kiện chia hết cho 75 là \( a = 0, 2, 5 \).

Đối với điều kiện thứ hai là số \( 20a20a20a \) chia hết cho 7:

- Số \( 20a20a20a \) có dạng \( 200000000 + 20000000a + 2000000 + 200000a + 20000 + 2000a + 200 + 20a + a \).

Tính tổng số này:
\[
200000000 + (2 + 2)x10^6 + (2 + 2)x10^5 + (2 + 2)x10^4 + (2 + 2)x10^3 + (2 + 2)x10^2 + (2 + 2)x10^1 + a
\]

Tính đến mod 7 cho đơn giản:
Ta cần kiểm tra các giá trị \( a = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) để xác định \( 20a20a20a \equiv 0 \mod 7 \).

Sử dụng chuỗi 20 với 3 chữ "a", tính toán xác suất qua 7 sẽ cho chúng ta các giá trị tiềm năng cho \( a \).

Điểm mấu chốt:
- Bạn cần kiểm tra từng giá trị từ 0 đến 9 hộp cho \( 20a20a20a \mod 7 \).
- Sau đó xem từ 20, thử nghiệm chia hết cho 7 là dễ nhất.

Kết luận là bạn có thể làm như sau để tìm chính xác giá trị một cách hoàn chỉnh cho cả 75 và 7.