Cho góc nhọn a . Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào góc a

Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( C \) không phụ thuộc vào góc nhọn \( \alpha \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

Biểu thức đã cho là:

\[
C = \frac{\tan^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cot^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

1. **Thay thế các biểu thức:**
- Ta biết \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \) và \( \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).

2. **Biến đổi từng phân thức trong biểu thức \( C \):**
- Thay thế \( \tan^2 \alpha \) và \( \cot^2 \alpha \):

\[
C = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

- Rút gọn từng phần:

Phân thứ nhất:

\[
\frac{\tan^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}
\]

Phân thứ hai:

\[
\frac{\cot^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}
\]

3. **Cộng hai phân thức:**
\[
C = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}
\]

Nhận thấy rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) và \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).

4. **Kết luận:**
Thay thế vào biểu thức và rút gọn các phần, cuối cùng ta có được một biểu thức không phụ thuộc vào góc \( \alpha \).

Do đó, ta chứng minh được rằng giá trị của \( C \) không phụ thuộc vào \( \alpha \).