Để tính tỉ số \( W_d \) (công của lực điều hòa) và \( W_t \) (công do lực cản) khi \( a = \frac{a_{max}}{2} \), ta cần phân tích các thông số từ phương trình dao động điều hòa được cho.

Phương trình dao động điều hòa của vật là:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]
Với \( A = 10 \) cm (biên độ), \( \omega = 4\pi \) rad/s, và \( \phi = \frac{\pi}{3} \).

Tính gia tốc cực đại \( a_{max} \):
\[
a_{max} = \omega^2 A = (4\pi)^2 \cdot 10 = 16\pi^2 \cdot 10
\]
Thay \( \pi^2 = 10 \) vào:
\[
a_{max} = 16 \cdot 10 \cdot 10 = 1600 \text{ cm/s}^2
\]

Theo đề bài, tại thời điểm \( a = \frac{a_{max}}{2} \):
\[
a = \frac{1600}{2} = 800 \text{ cm/s}^2
\]

Tính cơ năng tổng \( W \) trong dao động điều hòa là:
\[
W = \frac{1}{2} k A^2
\]
Với \( k = m \omega^2 \):
\[
k = 200 \times 10^{-3} \cdot (4\pi)^2
\]
\[
k = 0.2 \cdot 16 \cdot 10 = 32 \text{ N/m}
\]

Cơ năng tổng được tính như sau:
\[
W = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot (10 \cdot 10^{-2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 1 = 16 \text{ J}
\]

Cường độ dao động tại vị trí mà \( a = 800 \text{ cm/s}^2 \):
\[
a = \omega^2 x
\]
Sử dụng công thức và tình huống này, ta có:
\[
800 = (4\pi)^2 x
\]
\[
x = \frac{800}{16\pi^2} = \frac{800}{160} = 5 \text{ cm}
\]

Công do lực điều hòa (công của chúng ta có hiệu là \( W_d \)):
Khi vật di chuyển từ vi trí nào đó đến vị trí mới, bạn sẽ có:
\[
W_d = - \Delta U = W_{max} - U = W_{max} - \frac{1}{2} k x^2
\]
\[
W_d = 16 - \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot (5\cdot 10^{-2})^2
\]
\[
= 16 - 0.04 \cdot 32 = 16 - 1.28 = 14.72 \text{ J}
\]

Bây giờ, ta tính \( W_t \) với cường độ dao động hiện tại:
Một phần nhỏ của công bởi lực cản sẽ là một hằng số phụ thuộc vào độ mất mát năng lượng, với tỷ lệ mà bạn xác định từ khả năng mất năng lượng.

Kết quả là ta có:
\[
\text{Tỉ số } \frac{W_d}{W_t}
\]

Phải xác định chính xác \( W_t \) để có tỷ số chính xác, với cơ bản là piston và trọng lực cản chuyển động.

Đề bài không cho giá trị cụ thể cho \( W_t \) nên bạn cần xác định hơn từ chi tiết điều kiện bài toán.

Dựa trên các thông tin có được, bạn vẫn có thể tính \( \frac{14.72}{W_t} \) nếu có \( W_t \).

Tóm lại, cần có thêm thông tin về lực cản hoặc các yêu tố mất năng lượng để tính chính xác tỷ số giữa \( W_d \) và \( W_t \).