Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu:

### a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức P(x)

Bắt đầu với đa thức:
\[ P(x) = 7x^3 + 3x^4 - x^2 + 5x^2 - 2010 - 6x^3 - 2x^4 + 2023 - x^3 \]

**Bước 1: Gom nhóm các hạng tử theo lũy thừa.**

- Các hạng tử bậc 4: \(3x^4 - 2x^4 = 1x^4\)
- Các hạng tử bậc 3: \(7x^3 - 6x^3 - x^3 = 0x^3\)
- Các hạng tử bậc 2: \(-x^2 + 5x^2 = 4x^2\)
- Các hạng tử bậc 0: \(-2010 + 2023 = 13\)

**Bước 2: Viết lại đa thức sau khi thu gọn.**

Do đó:
\[ P(x) = 1x^4 + 0x^3 + 4x^2 + 13 \]

### Kết quả:
\[ P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \]

### b) Nếu rễ có số cao nhất, hệ số tự do và bậc của P(x)

- **Bậc của P(x):** 4 (bậc cao nhất là 4 do hạng tử \(x^4\)).
- **Hệ số tự do:** 13 (hạng tử bậc 0).
- **Số lượng rễ:** Để xác định số lượng rễ của P(x), ta có thể sử dụng định lý Descartes phân tích dấu hoặc khảo sát hàm số; tuy nhiên, từ biểu thức, ta thấy không có dấu hiệu phân tích dễ dàng hơn ở đây.

### c) Tính \(P(1)\) và \(P(-2)\)

- **Tính \(P(1)\):**
\[
P(1) = 1(1^4) + 4(1^2) + 13 = 1 + 4 + 13 = 18
\]

- **Tính \(P(-2)\):**
\[
P(-2) = 1(-2^4) + 4(-2^2) + 13 = 1(16) + 4(4) + 13 = 16 + 16 + 13 = 45
\]

### Kết quả cuối cùng:
1. \( P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \)
2. Bậc = 4, Hệ số tự do = 13
3. \( P(1) = 18 \), \( P(-2) = 45 \)