Cho tam giác ABC có tia phân giác của B và C cắt tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song BC cắt AB, AC tại D và E

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo các bước dưới đây:

### a) Tìm các tỷ lệ thức trong hình
Khi kẻ đường thẳng song song BC qua điểm I cắt AB tại D và AC tại E, theo định lý đường thẳng song song (tương đương trường hợp hai tam giác đồng dạng), ta có các tỷ lệ sau:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

### b) Chứng minh các tam giác BIE và CIE có tỉ lệ nhỏ hơn nhau
Do DE song song với BC, chúng ta có hai tam giác BIE và CIE có hai cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Theo định nghĩa tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{BI}{CI} = \frac{BE}{CE}
\]

Vì các góc tương ứng bằng nhau đặc biệt là:

\(\angle BIE = \angle CIE\),
\(\angle IBE = \angle ICE\).

### c) Xác định tổng BD + CE so với DF
Vì điểm I là điểm phân giác của góc BIC, ta có thể sử dụng định lý phân giác:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Từ đó, ta có thể thấy rằng:

\[
BD + CE < DF \quad (DF = BD + CE + DE)
\]

### Kết luận
Chúng ta có thể khẳng định rằng tỉ lệ BD + CE so với DF là đúng và làm rõ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác qua các phương pháp hình học đã nêu trên.