Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và điểm A với AO = 5 cm. Để tính độ dài OH, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về tiếp tuyến và hình học trong không gian.

1. **Đồ thị và hình vẽ:**
- Vẽ đường tròn với tâm O và bán kính 3 cm.
- Điểm A nằm bên ngoài đường tròn, có AO = 5 cm.

2. **Tính chiều dài các tiếp tuyến:**
- Từ A, chúng ta có thể kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOB (với OB là bán kính), chúng ta có:
\[
AB^2 + OB^2 = AO^2
\]
Trong đó, OB = 3 cm và AO = 5 cm.
Từ đó ta tính được AB:
\[
AB^2 + 3^2 = 5^2
\]
\[
AB^2 + 9 = 25
\]
\[
AB^2 = 16
\]
\[
AB = 4 \text{ cm}
\]
- Do đó, AC cũng có độ dài 4 cm.

3. **Tính diện tích và tọa độ của H:**
- Gọi H là giao điểm của đoạn AO với đoạn BC (kẻ giữa hai tiếp điểm B và C). Do AB và AC là tiếp tuyến từ A, H sẽ nằm trên AO.
- Do đó, chúng ta có một tam giác ABH và ACH là hai tam giác vuông với chiều cao từ H xuống BC.

4. **Tính độ dài OH:**
- Trong tam giác OAH, với OH là độ dài cần tìm:
- OH = OA - AH
- OA = 5 cm
- Dễ thấy rằng AH có thể tính bằng chiều cao của tam giác vuông hình thành khi O là đỉnh, A là chân và H là giao điểm.

5. **Lập công thức cho OH:**
- Chúng ta có hình chữ nhật AHBC với AH vuông góc với BC. Theo tính chất:
\[
AH = OA * \frac{OB}{AB}
\]
Bởi vì tam giác AOB vuông tại B, từ đó tính được OH:

Tính độ dài:
\[
AH = 5 * \frac{3}{4} = 3.75 \text{ cm}
\]

Như vậy, chúng ta có:
\[
OH = OA - AH = 5 - 3.75 = 1.25 \text{ cm}
\]

**Kết luận:** Độ dài OH = 1.25 cm.