Để giải bài này, trước hết, ta có thể vẽ hình cho tam giác ABC với các điểm đúng như đã mô tả trong đề bài:

1. Vẽ tam giác ABC nhọn với AB < AC.
2. Lấy E là trung điểm của đoạn thẳng BC.
3. Vẽ đoạn thẳng AE và lấy D trên AE sao cho E là trung điểm của AD.
4. Vẽ đường cao AH từ A xuống BC.
5. Lấy K trên tia AH sao cho H là trung điểm của AC.

### a. Chứng minh tam giác ABE = tam giác DCE

Để chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle DCE \), ta có:

- **E là trung điểm của BC**: điều này cho ta \( BE = EC \).
- **E là trung điểm của AD**: điều này cho ta \( AE = ED \).
- **Chân đường cao AH** tạo thành 2 tam giác có chung cạnh \( AE \).

Do đó, sử dụng tiêu chuẩn tam giác (cạnh-cạnh-cạnh, hay SSS), ta có:

\[
AB = DC \quad (bằng nhau do tính chất gương đối của trung điểm)
\]

Vì vậy, ta suy ra rằng \( \triangle ABE \cong \triangle DCE \).

### b. Chứng minh AC // BD

Từ \( \triangle ABE \cong \triangle DCE \), ta suy ra:

\[
\angle ABE = \angle DCE \quad \text{và} \quad \angle AEB = \angle DEC
\]

Do đó, theo định nghĩa của góc đồng vị, ta có \( AC // BD \).

### c. Chứng minh BD = AC = CK

Từ điều kiện trên, ta có:

- \( H \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AH = HC \).
- Tổng hợp các thông tin, ta có tam giác AED là tam giác cân với \( AE = ED \).
- Từ đó suy ra rằng \( AC = CK \).

Từ những tính chất này để khẳng định rằng \( AC = BD = CK \).

### d. Chứng minh DK vương góc với AH

Để chứng minh \( DK \perp AH \), xét các góc:

- Vì \( H \) là trung điểm của \( AC \) và \( AC // BD \), do đó, góc ở D sẽ tạo thành một hình vuông.

Sử dụng định nghĩa của đường cao và tính chất vuông góc, ta có:

\[
DK \perp AH
\]

### Hình vẽ

Dưới đây là hướng dẫn sơ đồ bạn có thể vẽ:

1. Vẽ tam giác ABC với A nằm trên đỉnh, B và C nằm trên đáy.
2. Đánh dấu E là trung điểm của BC.
3. Vẽ AE và xác định D sao cho E là trung điểm của AD.
4. Vẽ đường cao AH từ A xuống BC.
5. Tại AH, lấy K sao cho H là trung điểm của AC.

Như vậy, bạn đã có hình ảnh và các chứng minh cần thiết cho bài toán của mình!