Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}} \cdot \frac{x-1}{x-2\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} \right)
\]

Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên:

\[
\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}} \cdot \frac{x-1}{x-2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+1}(x-1)}{\sqrt{x-2}(x-2\sqrt{x})}
\]

Bước 2: Rút gọn phần thứ hai:

\[
\frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{x+1}}
\]

Bước 3: Kết hợp lại với nhau:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{x+1}(x-1)}{\sqrt{x-2}(x-2\sqrt{x})} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{x+1}} \right)
\]

Tại đây, hãy rút gọn nhiều nhất có thể.

Cuối cùng, từ đây bạn có thể thực hiện các phép nhân, phân tích và tìm ra giá trị tối ưu cho \( P \).

Lưu ý rằng với điều kiện \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \), xác định miền xác định của biểu thức là rất quan trọng.