Cho M = -6x^2 + 5xy -13y^2, N = x^2 - 5xy +2y^2. Chứng tỏ M, N ko cùng giá trị dương

Để chứng minh rằng hai đa thức \( M \) và \( N \) không cùng giá trị dương, ta cần phân tích Đa thức \( M \) và \( N \) theo các điều kiện khác nhau.

Đặt:
\[
M = -6x^2 + 5xy - 13y^2
\]
\[
N = x^2 - 5xy + 2y^2
\]

Ta sẽ kiểm tra giá trị của \( M \) và \( N \) tại một số điểm cụ thể:

1. **Xét trường hợp \( x = 1, y = 0 \)**:
\[
M(1, 0) = -6(1)^2 + 5(1)(0) - 13(0)^2 = -6
\]
\[
N(1, 0) = (1)^2 - 5(1)(0) + 2(0)^2 = 1
\]
Tại điểm này, \( M(1, 0) < 0 \) và \( N(1, 0) > 0 \).

2. **Xét trường hợp \( x = 0, y = 1 \)**:
\[
M(0, 1) = -6(0)^2 + 5(0)(1) - 13(1)^2 = -13
\]
\[
N(0, 1) = (0)^2 - 5(0)(1) + 2(1)^2 = 2
\]
Tại điểm này, \( M(0, 1) < 0 \) và \( N(0, 1) > 0 \).

3. **Xét trường hợp \( x = 2, y = 1 \)**:
\[
M(2, 1) = -6(2)^2 + 5(2)(1) - 13(1)^2 = -24 + 10 - 13 = -27
\]
\[
N(2, 1) = (2)^2 - 5(2)(1) + 2(1)^2 = 4 - 10 + 2 = -4
\]
Tại điểm này, \( M(2, 1) < 0 \) và \( N(2, 1) < 0 \).

Từ các trường hợp xét trên, ta nhận thấy rằng \( M \) và \( N \) không thể đồng thời dương tại cùng một điểm nào đó trong không gian \( (x, y) \). Cụ thể, có những trường hợp \( M < 0 \) và \( N > 0 \).

Kết luận: Hai đa thức \( M \) và \( N \) không cùng giá trị dương, điều này chứng tỏ rằng không tồn tại giá trị nào mà cả hai đa thức đều dương cùng một lúc.