Để chứng minh rằng các điểm \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc ở các điểm này.

Bắt đầu với tam giác \(ABC\):

1. **Đường cao:** Gọi \(D\) là giao điểm của \(BD\) với \(AC\), \(E\) là giao điểm của \(CE\) với \(AB\). Khi đó, \(BD \perp AC\) và \(CE \perp AB\).

2. **Tia vuông góc:** Giả sử \(Cx\) vuông góc với \(BM\) tại \(F\). Suy ra \(CF \perp BM\).

3. **Xét các góc:** Nhìn vào các góc phù hợp:
- \( \angle BDC = 90^\circ \) (do \(BD\) là đường cao).
- \( \angle CEB = 90^\circ \) (do \(CE\) là đường cao).
- Từ \(F\),vì \(CF \perp BM\) nên ta có \( \angle BFC = 90^\circ\).

4. **Góc đối diện cùng bằng nhau:**
- Ta thấy rằng \( \angle BFD = \angle BDC\).
- Đồng thời, \( \angle BFE = \angle CEB\).
- Từ đây, ta có \( \angle BDC + \angle BFD + \angle BFE = 180^\circ\).

5. **Áp dụng định lý về điểm thuộc đường tròn:** Theo định lý này, nếu tổng các góc tại một điểm và hai điểm còn lại trên một đường tròn bằng \(180^\circ\), thì các điểm này thuộc một đường tròn.

Kết luận: Vì \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), và \(F\) thỏa mãn điều kiện này, suy ra các điểm \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.