Để rút gọn biểu thức \( \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \), chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Nhân với liên hợp

Nhân tử số và mẫu số mỗi phân số với liên hợp của mẫu số.

1. Đối với phân số thứ nhất:
\[
\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
\]

2. Đối với phân số thứ hai:
\[
\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}
\]

Bước 2: Thực hiện phép trừ

Giờ chúng ta có:
\[
\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}
\]

Bước 3: Rút gọn

\[
= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}
\]

Vậy, biểu thức rút gọn được là:
\[
-\sqrt{3}
\]