Để chứng minh rằng tứ giác BDEC là hình thang cân và tính các góc của nó, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### a) Chứng minh BDEC là hình thang cân:

1. **Dữ liệu ban đầu**:
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, với \(AD = AE\).
- Có \(AB = AC\).

2. **Xét các góc**:
- Lưu ý rằng góc A là góc ở đỉnh của tam giác cân, tức là: \(\angle BAC = 50^\circ\).
- Do ABC là tam giác cân, ta có:
\[
\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ.
\]

3. **Xét tam giác ADE**:
- Tam giác ADE cũng là tam giác có hai cạnh bằng nhau \(AD = AE\).
- Do đó, góc \(ADE = \angle EAD\). Gọi góc này là \(x\).
- Tổng các góc trong tam giác ADE là:
\[
x + x + \angle A = 180^\circ \Rightarrow 2x + 50^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2x = 130^\circ \Rightarrow x = 65^\circ.
\]
- Vậy, góc \(ADE = \angle EAD = 65^\circ\).

4. **Góc tại điểm B và C**:
- Do điểm D thuộc AB, ta có:
\[
\angle ABD = 65^\circ.
\]
- Do đó, góc BDE (góc BDC) là góc ngoài, nên:
\[
\angle CBE = \angle ABC = 65^\circ.
\]

5. **Kết luận về hình thang BDEC**:
- Các góc BDE (góc bên D) và CBE (góc bên E) đều bằng nhau:
\[
\angle BDE = \angle CBE = 65^\circ.
\]
- Vậy BDEC là hình thang cân.

### b) Tính các góc của BDEC:

1. Tứ giác BDEC có các góc như sau:
- \( \angle BDE = 65^\circ \).
- \( \angle CBE = 65^\circ \).

2. Các góc bên còn lại:
- Tổng các góc trong tứ giác BDEC là:
\[
\angle BDE + \angle CBE + \angle BED + \angle DEC = 360^\circ.
\]
- Gọi \( \angle BED = y \) và \( \angle DEC = z \).

3. Biết rằng BDEC là hình thang cân, nên:
- \(y = z\).
- Do đó:
\[
65^\circ + 65^\circ + y + y = 360^\circ \Rightarrow 130^\circ + 2y = 360^\circ \Rightarrow 2y = 230^\circ \Rightarrow y = 115^\circ.
\]

### Kết luận:
- Các góc của tứ giác BDEC là:
- \( \angle BDE = 65^\circ \),
- \( \angle CBE = 65^\circ \),
- \( \angle BED = 115^\circ \),
- \( \angle DEC = 115^\circ \).

Từ đó, BDEC là hình thang cân và các góc của nó đã được tính.