Để chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh của hình thoi đồng thời thuộc một đường tròn, ta sẽ tiến hành như sau:

**Gọi**:
- Hình thoi \( ABCD \) với các cạnh \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \).
- Gọi \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \) là các trung điểm của \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \) tương ứng.

**Chứng minh**:
1. **Đặc điểm của hình thoi**:
- Trong hình thoi, các cạnh đối diện song song và các góc đối diện bằng nhau.
- Các đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của cả hai đường chéo.

2. **Xét tứ giác \( MNPQ \)**:
- Do \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \) là các trung điểm của các cạnh, ta có thể sử dụng tính chất của bốn điểm để chứng minh rằng chúng đồng quy trên một đường tròn.

3. **Chứng minh \( MNPQ \) là tứ giác nội tiếp**:
- Ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện trong tứ giác \( MNPQ \) bằng \( 180^\circ \).
- Ta có:
- Góc \( MNP \) và góc \( MQP \) là hai góc tạo bởi hai đường chéo của hình thoi. Vì hình thoi có các góc đối diện bằng nhau, nên các góc này cũng thỏa mãn điều kiện cần thiết cho tứ giác nội tiếp.

4. **Kết luận**:
- Do \( MNPQ \) có tổng các góc đối diện bằng \( 180^\circ \), ta kết luận rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường tròn.

Do đó, bốn trung điểm của bốn cạnh của hình thoi cùng thuộc một đường tròn.