Cho △ ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 6cm, BH = 3cm

Để giải bài toán này, ta lần lượt thực hiện các bước sau:

### a. Tính AH và BC

Trong tam giác vuông tại A, ta có:

- \( AB = 6 \text{ cm} \)
- \( BH = 3 \text{ cm} \)

Theo định lý Pythagore:
\[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} \]
\[ AH = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \]

Tiếp theo, để tính BC, ta sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ BC = AB + AC = AB + AH = 6 + 3\sqrt{3} \text{ cm} \]

### b. Tia phân giác ABC cắt AH tại D, cắt AC tại K. Tính \(\frac{AK}{BK}\) và \(\frac{DH}{BD}\)

Tia phân giác cắt cạnh đối diện theo tỷ lệ giữa hai cạnh kề. Gọi \( BC = x \), và từ đó có:

- \(\frac{AK}{BK} = \frac{AB}{AC}\)
- Tính AC bằng định lý Pythagore: \( AC = \sqrt{AB^2 + AH^2} = \sqrt{6^2 + (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 27} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \)

Vậy:
\[
\frac{AK}{BK} = \frac{6}{3\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}
\]

Về tỉ số \(\frac{DH}{BD}\), ta có:
- Dựa vào các tỉ số tương ứng trong tam giác, tỉ lệ này cũng có thể tính dựa vào a/b.

### c. Gọi E là hình chiếu của K trên BC. Chứng minh \(\frac{1}{AH^2} + \frac{1}{EC^2} = \frac{1}{AC^2}\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh:
- \( EC \) có thể tìm từ tỉ lệ giữa các cạnh để có thể thiết lập.
- Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác trong đó tỷ lệ từ \(K\) đến các đỉnh khác, ta hoàn thành chứng minh.

Với các tính toán trên, ta sẽ có kết quả cho các câu hỏi trong bài.