Để chứng minh rằng \( C, D, P, Q \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học liên quan đến đường tròn và các góc.

1. **Xác định các góc**:
- Do \( AP \perp D1 \) (hướng thẳng qua điểm \( A \) vuông góc với \( D1 \)), ta có góc \( ADP = 90^\circ \).
- Tương tự, từ \( AQ \perp BC \), ta có góc \( ABQ = 90^\circ \).

2. **Tính chất của góc tạo bởi hai dây cung**:
- Từ đó, ta có thể thấy rằng góc \( APD \) và góc \( AQP \) là các góc nội tại trong hình.
- Cụ thể, ta sẽ có:
\[
\angle ADP + \angle AQP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
\]
- Điều này cho thấy rằng \( P, D, A, Q \) cùng thuộc một đường tròn (theo định lý góc nội tại).

3. **Điều kiện chính**:
- Do \( C, D, P, Q \) nằm trên đường tròn mà \( A \) là điểm cố định, ta có thể kết luận rằng \( C, D, P, Q \) thuộc cùng một đường tròn vì \( A \) tạo thành hai góc nội tại \( ADP \) và \( ABQ \) giữ vai trò là một điểm đối diện trong đường tròn.

Kết luận: \( C, D, P, Q \) cùng thuộc một đường tròn.