Cho đường tròn (O) có dây cung AB và CD sao cho AB > CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N. Chứng minh KM > KN

Để chứng minh \( KM > KN \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn và tam giác.

1. **Thiết lập phương trình**:
- Qua điểm \( K \), vẽ hai dây cung \( AB \) và \( CD \) với \( AB > CD \). Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là giao điểm của đường tròn (O; OK) với các đoạn thẳng \( KA \) và \( KC \).

2. **Xét tam giác \( KAM \) và \( KCN \)**:
- Từ \( K \), ta có hai đoạn thẳng \( KM \) và \( KN \).
- Ta cần chỉ ra rằng \( KM \) là độ dài của đoạn từ \( K \) đến \( M \) (từ điểm \( K \) đến hình chiếu của \( A \) lên đường tròn ngoại tiếp) và \( KN \) là độ dài của đoạn từ \( K \) đến \( N \) (tương tự cho điểm \( C \)).

3. **So sánh các đoạn thẳng**:
- Do \( AB > CD \), ta có một tính chất là độ dài của các đoạn từ \( K \) đến các điểm trên đường tròn sẽ tỉ lệ với độ dài của dây cung.
- Vì thực tế \( M \) nằm gần hơn với \( A \) so với \( N \) nằm gần \( C \) (do \( K \) gần \( A \) và hơn nữa \( A \) nằm cách xa đường tròn hơn \( C \)), nên \( KM > KN \).

4. **Kết luận**:
- Từ những lý do trên, ta có thể kết luận rằng \( KM > KN \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( KM > KN \).