Chứng minh rằng biểu thức < 2

Để chứng minh rằng

\[
S = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{100\sqrt{99}} < 2,
\]

ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức và một số ước lượng hợp lý.

Đầu tiên, ta có thể viết lại tổng \( S \):

\[
S = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n\sqrt{n-1}}.
\]

Tiếp theo, để tìm một ước lượng cho từng phần tử của tổng, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức sau:

\[
\sqrt{n-1} \leq \sqrt{n}, \quad \text{hệ quả} \implies \frac{1}{\sqrt{n-1}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}.
\]

Vậy ta có thể ước lượng như sau:

\[
S = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n\sqrt{n-1}} \leq \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n\sqrt{n}}.
\]

Tiếp tục, chúng ta có thể ước lượng tổng này bằng cách sử dụng tính chất tích phân:

\[
\sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n\sqrt{n}} \approx \int_{1}^{100} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx.
\]

Để tính tích phân, ta có:

\[
\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx = -2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C.
\]

Áp dụng giới hạn từ 1 đến 100:

\[
\int_{1}^{100} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{100} = -\frac{2}{\sqrt{100}} + \frac{2}{\sqrt{1}} = -\frac{2}{10} + 2 = 2 - 0.2 = 1.8.
\]

Do đó, ta có:

\[
\sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n\sqrt{n}} < 1.8.
\]

Suy ra:

\[
S < 2.
\]

Vậy nên, biểu thức:

\[
\frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{100\sqrt{99}} < 2,
\]

đã được chứng minh.