Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất về hình học và định lý về các tứ giác.

**Bước 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.**

Tứ giác \( ABCD \) có các cạnh \( AB = 12 \) cm và \( BC = 5 \) cm. Giả sử \( CD \) là một đoạn thẳng sao cho \( AC = AD \), tức là tứ giác là một hình chữ nhật.

Để \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác \( ABCD \) bằng \( 180^\circ \) hoặc tứ giác có đường chéo vuông góc tại giao điểm của hai đường chéo.

Ta sẽ kiểm tra tính chất tổng của các góc:
- Gọi \( D \) là điểm trên đoạn thẳng sao cho \( AD \) cũng tạo với cạnh \( AB \) và cạnh \( BC \) một đoạn thẳng cùng số đo.
- Sử dụng tính chất \( AB \) và \( BC \) hợp thành một tam giác vuông tại \( B \) (giả sử \( AD \) vuông góc với \( AB \) và \( BC \)), tức là
- Góc \( A + C = 180^\circ \)
- Góc \( B + D = 180^\circ \)

=> Do đó, \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn.

**Bước 2: Tính bán kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, C, D.**

Để tính bán kính \( R \) của đường tròn đi qua bốn điểm này, ta có thể sử dụng công thức bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \( R \):

\[
R = \frac{abcd}{4K}
\]

Trong đó:
- \( a, b, c, d \) là độ dài các cạnh của tứ giác,
- \( K \) là diện tích của tứ giác.

Đối với tứ giác ABCD, ta có thể tính \( K \) theo công thức diện tích hình chữ nhật (giả sử \( AB \) và \( AD \) vuông góc):

\[
K = AB \times BC = 12 \times 5 = 60 \text{ cm}^2
\]

Nếu các đoạn thẳng đối diện bằng nhau và tạo với nhau một tứ giác đều, chúng ta có thể sử dụng \( a = b = c = d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \).

Tính bán kính:
\[
R = \frac{abcd}{4K} = \frac{(12)(5)(12)(5)}{4 \times 60} = \frac{3600}{240} = 15 \text{ cm}.
\]

Vậy bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm \( A, B, C, D \) là \( R = 15 \) cm.

**Kết luận:**
Bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, và bán kính của đường tròn đó là \( 15 \) cm.