Chứng minh tứ giác \( NAOB \) là hình vuông và tính độ dài của \( NA \) và \( NB \)

Để chứng minh tứ giác \( NAOB \) là hình vuông và tính độ dài của \( NA \) và \( NB \), ta tiến hành như sau:

1. **Chứng minh tứ giác \( NAOB \) là hình vuông**:
- Ta biết rằng \( A \) và \( B \) là hai điểm tiếp điểm của đường tròn với hai tiếp tuyến \( NA \) và \( NB \) tại điểm \( N \).
- Theo tính chất của các tiếp tuyến, \( NA \) vuông góc với \( OA \) và \( NB \) vuông góc với \( OB \).
- Do đó, \( \angle ANO = 90^\circ \) và \( \angle BNO = 90^\circ \).
- Hơn nữa, do \( A \) và \( B \) nằm trên đường tròn, \( OA = OB = 6 \) cm (bán kính của đường tròn).
- Từ đó, ta có:
\[
NA = NB
\]
- Vậy tứ giác \( NAOB \) có:
- Hai cạnh bằng nhau \( NA = NB \).
- Hai góc vuông tại \( N \).
- Điều này chứng tỏ rằng \( NAOB \) là hình vuông.

2. **Tính độ dài của \( NA \) và \( NB \)**:
- Áp dụng Định lý Pytago trong tam giác vuông \( OAN \):
\[
OA^2 = ON^2 + AN^2
\]
trong đó \( OA = 6 \) cm và \( ON \) là khoảng cách từ tâm \( O \) đến tiếp tuyến tại \( N \).
- Ta có:
\[
6^2 = ON^2 + AN^2
\]
- Cũng tương tự cho tam giác \( OBN \):
\[
OB^2 = ON^2 + BN^2 \quad \text{và} \quad OB = 6 \quad \Rightarrow \quad 6^2 = ON^2 + BN^2
\]
- Vì \( NA = NB \), ta có \( AN = BN \) (gọi là \( x \)):
\[
36 = ON^2 + x^2
\]
- Từ đó, ta có thể tính được \( NA = NB = x \) nếu biết \( ON \).

Đến đây, ta cần biết thêm thông tin về khoảng cách \( ON \) để tính chính xác độ dài của \( NA \) và \( NB \). Nếu không, ta có thể để \( x \) dưới dạng biểu thức với \( ON \):
\[
x^2 = 36 - ON^2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{36 - ON^2}
\]

Vậy đáp án cho bài toán sẽ là \( NA = NB = \sqrt{36 - ON^2} \) cm.