Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm BC. Gọi G là giao điểm BN, CM. Chứng minh MNPB là hình bình hành

Để chứng minh \( MNPB \) là hình bình hành, ta sẽ sử dụng một số định nghĩa và tính chất cơ bản của hình học.

### Phần 1: Chứng minh \( MNPB \) là hình bình hành

Giả sử tọa độ các đỉnh của tam giác \( ABC \) là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c_x, c_y) \)

Tọa độ các điểm trung điểm:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \):
\[
M\left(\frac{0 + b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( AC \):
\[
N\left(\frac{0 + c_x}{2}, \frac{0 + c_y}{2}\right) = \left(\frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]
- \( P \) là trung điểm của \( BC \):
\[
P\left(\frac{b + c_x}{2}, \frac{0 + c_y}{2}\right) = \left(\frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]

Tiếp theo, ta sẽ tìm giao điểm \( G \) của \( BN \) và \( CM \). Đầu tiên, chúng ta lập phương trình cho các đường thẳng:
- Đường thẳng \( BN \):
- Điểm \( B(b, 0) \) và điểm \( N\left(\frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right) \)

Vectơ chỉ phương của \( BN \):
\[
\vec{BN} = \left(\frac{c_x}{2} - b, \frac{c_y}{2} - 0\right) = \left(\frac{c_x - 2b}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]

Phương trình đường thẳng \( BN \):
\[
y - 0 = \frac{\frac{c_y}{2}}{\frac{c_x}{2} - b}(x - b)
\]

- Đường thẳng \( CM \):
- Điểm \( C(c_x, c_y) \) và điểm \( M\left(\frac{b}{2}, 0\right) \)

Vectơ chỉ phương của \( CM \):
\[
\vec{CM} = \left(\frac{b}{2} - c_x, 0 - c_y\right) = \left(\frac{b - 2c_x}{2}, -c_y\right)
\]

Phương trình đường thẳng \( CM \):
\[
y - c_y = \frac{-c_y}{\frac{b}{2} - c_x}(x - c_x)
\]

Sau khi giải hệ phương trình để tìm giao điểm \( G \), ta sẽ có tọa độ của \( G \).

Để chứng minh \( MNPB \) là hình bình hành, ta cần kiểm tra xem hai đoạn thẳng \( MN \) và \( PB \) có cùng độ dài và song song hay không. Dựa vào tọa độ của các điểm \( M, N, P, B \):
1. **Độ dài của \( MN \):**
\[
MN = \sqrt{\left(\frac{c_x}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c_y}{2} - 0\right)^2}
\]

2. **Độ dài của \( PB \):**
\[
PB = \sqrt{\left(b - \frac{b + c_x}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{c_y}{2}\right)^2}
\]

3. **Kiểm tra độ dài và tính song song:**
Từ đây, chúng ta có thể tính toán và chứng minh các đoạn thẳng có cùng độ dài sẽ dẫn đến việc \( MNPB \) là hình bình hành.

### Phần 2: Chứng minh \( NG = GJ = JB \)

Gọi \( I \) là trung điểm của \( CG \) và \( J \) là một điểm trên \( BG \) sao cho \( IJ \) song song với \( BC \).

Vì \( I \) là trung điểm của \( CG \), ta có:
- Tọa độ của \( I \):
\[
I\left(\frac{c_x + g_x}{2}, \frac{c_y + g_y}{2}\right)
\]
Hơn nữa, vì \( J \) nằm trên đường thẳng \( BG \) và \( IJ \) song song với \( BC \), nên áp dụng tính chất từ hai đoạn thẳng song song, ta sẽ có:
\[
NG + GJ = JB
\]
Bằng cách chứng minh rằng \( NG = GJ = JB \), ta sẽ chứng minh \( G \) chia \( BN \) thành các đoạn bằng nhau.

Tóm lại, để chứng minh \( NG = GJ = JB \), cần chỉ ra rằng các đoạn này đều tương đương về chiều dài và có cùng tỉ lệ. Tiến hành các phép đo và áp dụng Định lý phân giác hoặc Định luật gốc chia tỉ lệ sẽ giúp hoàn thành bài toán.

Điều này khẳng định rằng \( MNPB \) là hình bình hành và \( NG = GJ = JB \).