Khoảng cách từ góc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng √2

Để tìm m để khoảng cách từ góc tọa độ O (0, 0) đến đường thẳng \(d: y = (2m + 1)x - 2\) bằng \(\sqrt{2}\), chúng ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\).

Đầu tiên, ta đưa phương trình đường thẳng về dạng chuẩn:

\[
(2m + 1)x - y - 2 = 0
\]

Ở đây, ta có:
- \(A = 2m + 1\)
- \(B = -1\)
- \(C = -2\)

Khoảng cách từ điểm \(O(0, 0)\) đến đường thẳng được tính bằng công thức:

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Thay vào công thức trên:

\[
d = \frac{|(2m + 1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 2|}{\sqrt{(2m + 1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{(2m + 1)^2 + 1}}
\]

Ta đặt \(d = \sqrt{2}\):

\[
\frac{2}{\sqrt{(2m + 1)^2 + 1}} = \sqrt{2}
\]

Bình phương hai vế:

\[
\frac{4}{(2m + 1)^2 + 1} = 2
\]

Giải phương trình:

\[
4 = 2((2m + 1)^2 + 1)
\]

\[
4 = 2(2m + 1)^2 + 2
\]

\[
2 = 2(2m + 1)^2
\]

\[
1 = (2m + 1)^2
\]

Giải ra:

\[
2m + 1 = 1 \quad \text{hoặc} \quad 2m + 1 = -1
\]

- Từ \(2m + 1 = 1\):
\[
2m = 0 \Rightarrow m = 0
\]

- Từ \(2m + 1 = -1\):
\[
2m = -2 \Rightarrow m = -1
\]

Vậy, giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu là \(m = 0\) hoặc \(m = -1\).