Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và hình học phẳng.

**a. Chứng minh tam giác AOC = tam giác BOC; tam giác AOD = tam giác BOD.**

1. **Tam giác AOC và BOC:**
- Từ điều kiện trên, ta có \( OA = OB \) (vì \( OA = OB \)).
- Ta có \( AC = BC \) (vì \( C \) nằm trên hai cung tròn tâm A và B cùng bán kính).
- Góc \( \angle AOB = \angle AOB \) (góc chung).
- Theo tiêu chí (cạnh-cạnh-cạnh) của tam giác, ta có:
\[
\triangle AOC \cong \triangle BOC
\]

2. **Tam giác AOD và BOD:**
- Tương tự, ta có \( OA = OB \) và \( AD = BD \) (vì \( D \) cũng nằm trên hai cung tròn).
- Góc \( \angle AOB = \angle AOB \) (góc chung).
- Theo tiêu chí (cạnh-cạnh-cạnh) của tam giác, ta có:
\[
\triangle AOD \cong \triangle BOD
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \triangle AOC \cong \triangle BOC \) và \( \triangle AOD \cong \triangle BOD \).

**b. Chứng minh ba điểm O, C, D thẳng hàng.**

- Ta có bốn điểm A, B, C, D như đã chỉ ra ở trên. Điểm O là đỉnh của góc \( \angle AOB \).
- Do hai tam giác \( AOC \) và \( BOC \) đồng dạng, và \( OB = OA \), nên điểm O cùng nằm trên đường thẳng nối AC và BD.
- Hơn nữa, vì \( AC = BC \) và \( AD = BD \), nên \( C \) và \( D \) phải nằm trên đường thẳng nối A và B.
- Sự đối xứng về O khiến cho vị trí của C và D trở nên cân xứng qua O, tức là O sẽ là điểm giữa của đoạn CD.
- Do đó, ba điểm O, C, D thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành xong phần bài toán với những chứng minh cần thiết về sự đồng dạng của các tam giác và tính chất thẳng hàng của ba điểm.