Để chứng minh các tính chất của hình thang ABCD với các điểm trung gian E, F, G, H, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( FE \parallel AB \)

1. **Xác định tọa độ**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(b, h) \), \( D(c, h) \) với \( AB \parallel CD \).

2. **Chọn điểm trung gian**:
- \( E \) là trung điểm của \( AD \):
\[
E\left( \frac{0+c}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

- \( F \) là trung điểm của \( BD \):
\[
F\left( \frac{a+c}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Tính hệ số góc (độ dốc)**:
- Hệ số góc của \( AB = 0 \) (vì AB là đoạn thẳng nằm ngang).
- Hệ số góc của \( FE \):
\[
\text{Độ dốc của } FE = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{a+c}{2} - \frac{c}{2}} = 0
\]

4. **Kết luận**:
- Vì độ dốc của cả hai đoạn thẳng \( FE \) và \( AB \) đều bằng 0, nên \( FE \parallel AB \).

### b) Chứng minh \( FG \parallel CD \)

1. **Xác định tọa độ của G** (trung điểm của \( AC \)):
\[
G\left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

2. **Tính hệ số góc của \( FG \)**:
- Hệ số góc của \( CD \) (đoạn thẳng nằm trên):

- Hệ số góc của \( FG \):
\[
\text{Độ dốc của } FG = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{a+c}{2} - \frac{b}{2}} = 0
\]

3. **Kết luận**:
- Cũng giống như trước, vì độ dốc của cả \( FG \) và \( CD \) đều bằng 0, suy ra \( FG \parallel CD \).

### c) Chứng minh \( E, F, G, H \) thẳng hàng

1. **Xác định tọa độ của H** (trung điểm của \( BC \)):
\[
H\left( \frac{a+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

2. **Kiểm tra sự thẳng hàng**:
- Ba điểm thẳng hàng nếu độ dốc giữa hai cặp điểm là bằng nhau.
- Tính độ dốc của \( EF \) và \( FG \):
\[
\text{Độ dốc của } EF = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{a+c}{2} - \frac{c}{2}} = 0
\]
\[
\text{Độ dốc của } FG = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{a+c}{2} - \frac{b}{2}} = 0
\]

3. **Kết luận**:
- Vì cả ba điểm \( E, F, G \) đều có độ dốc bằng 0, nên \( E, F, G, H \) là thẳng hàng.

Mong rằng những giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về việc chứng minh các tính chất trong hình thang này!