Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi a + b = 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) khi \( a + b = 1 \) và \( a, b \) là số thực không âm, ta có thể thay \( b = 1 - a \) và xây dựng lại biểu thức.

Biểu thức \( P \) sẽ trở thành:

\[
P = \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{4a(1-a)}{(1-a)^2 + 1}
\]

Bây giờ, ta có thể thay thế \( b = 1 - a \) vào trong \( P \), từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) theo biến \( a \) trong khoảng \( [0, 1] \).

Đầu tiên, ta tính \( (1-a)^2 + 1 \):

\[
(1-a)^2 + 1 = 1 - 2a + a^2 + 1 = a^2 - 2a + 2
\]

Vậy,

\[
P = \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{4a(1-a)}{a^2 - 2a + 2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ phân tích và tính đạo hàm của \( P \) để tìm cực trị. Tuy nhiên, cách thuận lợi hơn là thay các giá trị đặc biệt cho \( a \) và \( b \).

1. **Khi \( a = 0 \), \( b = 1 \)**:

\[
P = \frac{1}{0^2 + 1} + \frac{4 \cdot 0 \cdot 1}{1^2 + 1} = 1 + 0 = 1
\]

2. **Khi \( a = 1 \), \( b = 0 \)**:

\[
P = \frac{1}{1^2 + 1} + \frac{4 \cdot 1 \cdot 0}{0^2 + 1} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}
\]

3. **Khi \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{1}{2} \)**:

\[
P = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2 + 1} + \frac{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1} + \frac{4 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 1}
\]

Tính từng phần:

\[
= \frac{1}{\frac{5}{4}} + \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6
\]

Từ kết quả trên, ta thấy giá trị của \( P \) tại các điểm:
- Khi \( a = 0 \) (hoặc \( b = 1 \)): \( P = 1 \)
- Khi \( a = 1 \) (hoặc \( b = 0 \)): \( P = \frac{1}{2} \)
- Khi \( a = b = \frac{1}{2} \): \( P = 1.6 \)

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là:

\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\] khi \( a = 1 \) (hoặc \( b = 0 \)).