Cho tam giác ABC không cân, có BC = a; CA = b; AB = c. I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước yêu cầu.

### Phần 1: Chứng minh \( ID = \frac{a}{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \) và \( (a-b)\cot \frac{C}{2} + (b-c)\cot \frac{A}{2} + (c-a)\cot \frac{B}{2} = 0 \)

1. **Chứng minh ID**:
- Đối với tam giác \( ABC \) không cân, tọa độ điểm \( I \), giao điểm các đường phân giác, có thể được tính dựa vào tỉ số cạnh.
- Sử dụng định nghĩa về đường phân giác và công thức cotang.
- Một cách chính xác, từ tam giác \( ABC \), có thể biểu diễn các cotang của các góc theo cạnh và các do đó chúng ta có thể viết ra công thức cho \( ID \).

2. **Chứng minh điều kiện thứ hai**:
- Sử dụng các phương trình của độ dài và góc hoành. Có thể cần sử dụng định lý sine hoặc các quan hệ đồng dạng để chứng minh.

### Phần 2: Tính diện tích tam giác \( AMN \)

1. **Cách tìm giao điểm \( I \)**:
- Xác định tọa độ các điểm \( M, N \) trên các cạnh \( BC \) và \( CD \).
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với các đỉnh là \( A, M, N \).

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích**:
- Biến diện tích dưới dạng một hàm rồi tính đạo hàm để tìm cực trị.
- Thực hiện việc thay đổi tọa độ của \( M \) và \( N \) trên \( BC \) và \( CD \) và tìm diện tích tam giác tương ứng.

### Kết luận
Bài này yêu cầu nhiều công cụ hình học và đại số, bạn có thể sử dụng phần mềm tính toán hoặc vẽ hình để hình dung tốt hơn. Nếu cần thêm chi tiết về từng phần, bạn có thể yêu cầu từng bước một.