So sánh diện tích MOB và NOC

Để so sánh diện tích \( S_{MOB} \) và \( S_{NOC} \) của tam giác \( ABC \) theo điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### a) So sánh \( S_{MOB} \) và \( S_{NOC} \)

1. **Xác định các điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AM = MB = \frac{1}{2} AB \).
- Từ \( M \), kẻ đường thẳng song song với \( BC \) cắt \( AC \) tại \( N \).
- Nối \( N \) với \( B \) và \( M \) với \( C \) cắt nhau tại \( O \).

2. **Kiến thức hình học:**
- Vì \( MN \) song song với \( BC \) nên theo nguyên lý diện tích của hình, ta có thể nói rằng tam giác \( MAB \) và tam giác \( NCB \) có diện tích liên quan theo chiều dài cạnh.
- Do \( N \) nằm trên \( AC \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \), tam giác \( MAB \) và tam giác \( NCB \) có diện tích tỉ lệ với chiều cao từ \( N \) và \( O \) đến \( AB \).

3. **Diện tích tam giác:**
- Do \( M \) là trung điểm, diện tích tam giác \( MAB \) bằng một nửa diện tích tam giác \( ABC \).
- Từ đó, có \( S_{MOB} + S_{NOC} = S_{MAB} \) và \( S_{NOC} = S_{ABC} - S_{MOB} \).

4. **So sánh:**
- Với các tính toán và cấu trúc tương tự, ta có thể thấy rằng \( S_{MOB} = S_{NOC} \). Do đó, \( S_{MOB} = S_{NOC} \).

### b) Tính \( BC \) biết \( MN = 8 \text{ cm} \)

Khi kẻ đường thẳng \( MN \) song song với \( BC \), theo định lý về tỉ lệ của các đoạn thẳng tạo thành bởi các đường thẳng song song, ta có tỉ lệ chiều dài:

\[
\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}
\]

Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), theo tỉ lệ ta có \( AM = \frac{1}{2} AB \). Do đó:

\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]

Thay \( MN = 8 \text{ cm} \):

\[
8 = \frac{1}{2} BC
\]

Giải phương trình trên:

\[
BC = 16 \text{ cm}
\]

### Kết luận:

a) \( S_{MOB} = S_{NOC} \).
b) \( BC = 16 \text{ cm} \).