Để giải phương trình \(\frac{\sqrt{2x - 3}}{\sqrt{2x - 1}} = 2\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đưa phương trình về dạng thuận tiện hơn bằng cách nhân cả hai vế với \(\sqrt{2x - 1}\) (điều này hợp lệ khi \(2x - 1 > 0\)):
\[
\sqrt{2x - 3} = 2\sqrt{2x - 1}
\]

2. Bình phương cả hai vế:
\[
2x - 3 = 4(2x - 1)
\]

3. Phát triển vế phải:
\[
2x - 3 = 8x - 4
\]

4. Đưa về một vế:
\[
2x - 8x = -4 + 3
\]
\[
-6x = -1
\]

5. Giải phương trình:
\[
x = \frac{1}{6}
\]

6. Kiểm tra điều kiện của \(x\) trong các căn:
- Để \(2x - 3 \geq 0\): \(2x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}\).
- Để \(2x - 1 > 0\): \(2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\).

Tuy nhiên, \(x = \frac{1}{6}\) không thỏa mãn điều kiện \(x \geq \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình ban đầu \(\frac{\sqrt{2x - 3}}{\sqrt{2x - 1}} = 2\) không có nghiệm trong tập số thực.