2n^2 + n và n + 1. CMR 2 số đó nguyên tố cùng nhau

Để chứng minh rằng hai số \( a = 2n^2 + n \) và \( b = n + 1 \) là nguyên tố cùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (gcd) của chúng là 1, tức là \( \gcd(a, b) = 1 \).

Ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid để tìm \( \gcd(a, b) \):

1. **Tính \( a \mod b \)**:
\[
a = 2n^2 + n
\]
\[
b = n + 1
\]

Tính \( a \mod b \):
\[
a \mod b = (2n^2 + n) \mod (n + 1)
\]

Để tính \( a \mod b \), trước tiên ta có thể biểu diễn \( 2n^2 + n \):
\[
2n^2 + n = 2n(n + 1) - n
\]
Do đó,
\[
a \equiv 2n(n + 1) - n \mod (n + 1)
\]
Khi chia \( 2n(n + 1) \) cho \( n + 1 \), phần dư sẽ là 0 và ta chỉ việc tính phần dư của \( -n \):
\[
a \equiv -n \mod (n+1)
\]
Với \( n \equiv -1 \mod (n + 1) \), ra được:
\[
a \equiv 1 \mod (n + 1)
\]

2. **Tính \( \gcd(b, a) \)**:
Theo định nghĩa của b:
\[
b = n + 1
\]
Ta có:
\[
\gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) = \gcd(n + 1, 1)
\]
Từ đó, ta có:
\[
\gcd(n + 1, 1) = 1
\]

3. **Kết luận**:
Từ trên, ta đã chứng minh rằng \( \gcd(a, b) = 1 \). Vậy \( 2n^2 + n \) và \( n + 1 \) là nguyên tố cùng nhau.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( 2n^2 + n \) và \( n + 1 \) là hai số nguyên tố cùng nhau.