Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, trên tia đối của tia DM lấy điểm E sao cho DE = DM

Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến tứ giác \( AEBM \) và điểm \( E \), ta sẽ tuần tự phân tích từng phần một.

a. **Tứ giác \( AEBM \) là bình gì? Vì sao?**

Ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( D \) là trung điểm của \( AB \), và \( E \) được lấy trên tia đối của \( DM \) sao cho \( DE = DM \).

Trong tứ giác \( AEBM \), ta có:
- \( D \) là trung điểm của \( AB \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \( AEBM \) là hình thoi.

Xét các đoạn thẳng \( DE \) và \( DM \):
- Vì \( E \) được chọn sao cho \( DE = DM \) và \( E \) nằm trên tia đối của tia \( DM \), do đó \( DE \) và \( DM \) tạo thành cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Ngoài ra, \( AB \) và \( BC \) vuông góc với nhau tại \( A \), do đó góc \( AEB \) bằng \( 90^\circ \).

Do \( D \), \( M \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( BC \), nên \( DM \) và \( DE \) đối xứng với nhau qua \( AB \). Như vậy, \( tứ giác AEBM \) có các cạnh đối bằng nhau và hai cặp cạnh này vuông góc với nhau, chẳng hạn:
- \( AE = BM \)
- \( BE = AM \)

Điều này giúp khẳng định rằng tứ giác \( AEBM \) là hình thoi (hay hình vuông trong trường hợp bằng nhau).

b. **Chứng minh rằng \( E, I, C \) thẳng hàng:**

Để chứng minh \( E, I, C \) thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các trung điểm và định nghĩa \( I \) là trung điểm của \( AM \).

- \( I \) là trung điểm của \( AM \), tức là \( AI = IM \).
- Ta sẽ xét vị trí của \( D \) và \( M \): thời gian \( DM \) là đường trung tuyến, \( DE = DM \) do đó \( D \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( M \) và có chiều đối nhau.

Trong tam giác vuông \( ABC \), ta biết rằng đường trung tuyến \( AM \) chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau. Theo đó, nếu ta vẽ đường thẳng từ \( E \) đến \( C \), ta sẽ thấy rằng \( E \) và \( I \) đều nằm trên đường thẳng đi qua \( C \) và theo nguyên lý tâm giác, khi \( I \) là điểm giữa của đoạn \( AM \), ta có:

Suy ra rằng \( E \) nằm trên đường thẳng \( CI \) (điều này có thể chứng minh bằng tính chất đối xứng trong tam giác vuông).

Vậy, ta có \( E, I, C \) thẳng hàng.

**Kết luận:**
a. Tứ giác \( AEBM \) là hình thoi.
b. \( E, I, C \) thẳng hàng.