Tìm tất cả số thực a, b, c khác 0 thoả mãn a + b + c = 4, 1/a + 1/b + 1/c = 1/4 và a^2 + b^2 + c^2 = 18

Để giải bài toán, chúng ta cần tìm các số thực \( a, b, c \) khác 0 thỏa mãn các điều kiện:

1. \( a + b + c = 4 \)
2. \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{4} \)
3. \( a^2 + b^2 + c^2 = 18 \)

### Bước 1: Chuyển đổi điều kiện thứ hai

Từ điều kiện thứ hai, chúng ta có thể biến đổi như sau:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc} = \frac{1}{4} \implies 4(bc + ac + ab) = abc
\]

Gọi \( p = a + b + c \), \( q = ab + ac + bc \), \( r = abc \). Từ điều kiện đầu tiên, ta có \( p = 4 \). Thay vào đó, ta có:

\[
4q = r
\]

### Bước 2: Sử dụng điều kiện thứ ba

Chúng ta biết rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc) = p^2 - 2q
\]

Thay \( p = 4 \) vào phương trình này:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 - 2q = 16 - 2q
\]

Theo điều kiện thứ ba, chúng ta có:

\[
16 - 2q = 18 \implies -2q = 2 \implies q = -1
\]

### Bước 3: Tìm giá trị của \( r \)

Thay giá trị của \( q \) vào phương trình \( 4q = r \):

\[
r = 4(-1) = -4
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc ba

Chúng ta có \( p = 4 \), \( q = -1 \), và \( r = -4 \). Sử dụng điều này, \( a, b, c \) là nghiệm của phương trình bậc ba:

\[
x^3 - px^2 + qx - r = 0
\]
\[
x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0
\]

### Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình

Ta có thể sử dụng phương pháp thử để tìm nghiệm. Thử \( x = 1 \):

\[
1^3 - 4(1)^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0
\]

Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm. Chia \( x^3 - 4x^2 - x + 4 \) cho \( x - 1 \):

Sau khi thực hiện phép chia, ta có được phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 3x - 4 = 0
\]

### Bước 6: Giải phương trình bậc hai

Ta có thể tính delta:

\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{3 \pm 5}{2}
\]
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = -1
\]

### Kết luận

Vậy các nghiệm là \( a = 4, b = 1, c = -1 \) hoặc các hoán vị của chúng. Tuy nhiên, theo điều kiện bài toán, \( a, b, c \) phải khác 0. Như vậy, tất cả các số a, b, c khác 0 không thoả mãn điều kiện này.

Do đó, không có nghiệm thực dương nào thỏa mãn cả 3 điều kiện trong bài toán.