Để chứng minh tam giác AMN cân và tính góc MAN, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng.

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, với B và C lần lượt là điểm trên mặt phẳng. Gọi và cho \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \).

a) **Chứng minh tam giác AMN cân:**

Chúng ta có:
- \( M \) và \( N \) nằm trên đoạn thẳng \( BC \), với \( BM = CN = AB = c \).

Gọi:
- \( BM = c \) => \( M \) cách \( B \) một đoạn dài bằng \( c \),
- \( CN = c \) => \( N \) cách \( C \) một đoạn dài bằng \( c \).

Xét các đoạn \( AM \) và \( AN \):
- Tính độ dài \( AM \):
- \( AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{c^2 + (BC - c)^2} \)
- Vì \( M \) nằm trên đoạn \( BC \), tính toán sẽ cho ra \( AM = \sqrt{c^2 + a^2} \).

- Tính độ dài \( AN \):
- Tương tự với \( AN \):
- \( AN = \sqrt{AC^2 + CN^2} \)
- Tính toán cũng cho ra giá trị \( AN = \sqrt{b^2 + c^2} \).

Do \( AB = AC \) và \( BM = CN \), chúng ta có:
\[
AM = AN
\]

Từ đó, ta kết luận \( \triangle AMN \) là tam giác cân.

b) **Tính góc MAN:**

Tam giác \( AMN \) cân, nên hai góc \( \angle AMN \) và \( \angle ANM \) sẽ bằng nhau.

Để tính góc MAN, ta sẽ sử dụng định lý Sin trong tam giác vuông. Chúng ta biết rằng:
\[
\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}
\]

Vì vậy:
\[
\angle ABC = \frac{b}{c}
\]

Khi đó, chúng ta có thể tính được mối quan hệ giữa các góc trong tam giác AMN thông qua các cạnh của nó và góc vuông \( A \).

Cuối cùng, với góc MAN, do tam giác AMN là tam giác cân, góc này sẽ bằng:
\[
\angle MAN = \frac{180^\circ - \angle AMN}{2}
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân và có thể tính được các góc của nó, bao gồm góc \( MAN \).