Để chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố có dạng \(6k + 5\), ta sử dụng lập luận phản chứng và thuộc tính của số nguyên tố.

1. **Xét các số nguyên tố**:
Các số nguyên tố từ 2 trở đi có thể chia hết cho 6 với các dạng: \(6k\), \(6k + 1\), \(6k + 2\), \(6k + 3\), \(6k + 4\), và \(6k + 5\).

- Các số dạng \(6k\) là số chẵn, nên không thể là số nguyên tố (trừ số 2).
- Các số dạng \(6k + 2\) là số chẵn, nên không thể là số nguyên tố (trừ số 2).
- Các số dạng \(6k + 3\) chia hết cho 3, nên chỉ có thể là số nguyên tố nếu nó là số 3.
- Các số dạng \(6k + 4\) cũng là số chẵn và không thể là số nguyên tố (trừ số 2).

Vậy, các số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ có khả năng xuất hiện ở dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\).

2. **Lập luận chứng minh**:
Giả sử rằng tồn tại hữu hạn các số nguyên tố có dạng \(6k + 5\). Gọi các số nguyên tố đó là \(p_1, p_2, \ldots, p_n\). Ta xây dựng số \(N\) như sau:
\[
N = 6 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdots p_n - 1
\]
Số \(N\) không chia hết cho bất kỳ \(p_i\) nào (vì chia \(N\) cho \(p_i\) sẽ cho ra số dư là -1). Do đó, \(N\) phải là số nguyên tố hoặc có nguyên tố khác không nằm trong tập \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).

- Nếu \(N\) là số nguyên tố, thì \(N\) có dạng \(6k + 5\) vì \(6 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdots p_n\) là số chia hết cho 6, nên khi trừ 1 thì nó sẽ rơi vào dạng \(6k + 5\).
- Nếu \(N\) không phải là số nguyên tố, thì nó phải có một số nguyên tố khác không nằm trong danh sách \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), và do đặc điểm của số nguyên tố, số này cũng phải có dạng \(6k + 5\).

Cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng chỉ có hữu hạn số nguyên tố có dạng \(6k + 5\).

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng tồn tại vô số số nguyên tố có dạng \(6k + 5\).