Tìm giá trị biểu thức A=x^101-101x^100+101x^99+101x^98+..-101x^

Để tìm giá trị biểu thức

\[
A = x^{101} - 101x^{100} + 101x^{99} + 101x^{98} + \ldots - 101x^0,
\]

ta có thể viết lại biểu thức này theo cách rõ ràng hơn. Biểu thức của \(A\) có thể được phân tách như sau:

- Phần đầu tiên là \(x^{101}\).
- Phần thứ hai là \(-101 x^{100}\).
- Phần còn lại là tổng của \(101\) nhân với các lũy thừa của \(x\) từ \(99\) đến \(0\), nhưng với thành phần đầu là \(+101\) cho \(x^{99}\) và tất cả các thành phần còn lại đều là \(-101\).

Như vậy, ta có thể chuyển tổng này vào dạng:

\[
A = x^{101} - 101x^{100} + 101 \left( x^{99} + x^{98} + \ldots + x^0 \right).
\]

Tổng của các lũy thừa \(x^{99} + x^{98} + \ldots + x^0\) là một chuỗi hình học với số hạng đầu là \(1\) và số hạng cuối là \(x^{99}\). Công thức tổng quát cho tổng của \(n\) số hạng trong chuỗi hình học là:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r},
\]

với \(a\) là số hạng đầu tiên và \(r\) là tỷ lệ. Ở đây, \(a = 1\), \(r = x\), và có tổng cộng \(100\) hạng (từ \(0\) đến \(99\)), vì vậy:

\[
\text{Tổng} = \frac{1(1 - x^{100})}{1 - x} = \frac{1 - x^{100}}{1 - x}.
\]

Sau đó, thay tổng vào biểu thức \(A\):

\[
A = x^{101} - 101x^{100} + 101 \cdot \frac{1 - x^{100}}{1 - x}.
\]

Cuối cùng, chỉnh sửa biểu thức này. Thay \(x^{101}\) và \(-101x^{100}\) thành dạng chung và cộng dồn lại:

\[
A = x^{101} - 101x^{100} + \frac{101 - 101x^{100}}{1 - x} = \frac{x^{101}(1 - x) - 101x^{100}(1 - x) + 101 - 101x^{100}}{1 - x}.
\]

Kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào giá trị của \(x\). Nếu cần đơn giản hơn hay trường hợp đặc biệt, bạn có thể tính cho một giá trị cụ thể của \(x\) nào đó (ví dụ như \(x=1\), hoặc \(x=0\)). Hãy cho tôi biết nếu bạn cần xác định \(A\) cho một giá trị \(x\) nhất định!