Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH

Để chứng minh rằng \( AE \cdot EB = EH^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) với đỉnh \( A \) ở góc vuông và đường cao \( AH \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học trong tam giác vuông và định lý Pythagore.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Giả sử tam giác vuông \( ABC \) có \( AB \) là cạnh huyền và \( AC \) là cạnh góc vuông.
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) hạ xuống đường thẳng \( BC \).
- Điểm \( E \) nằm trên \( AB \) và \( F \) nằm trên \( AC \).

2. **Xác định các đoạn thẳng**:
- Gọi \( AE = x \).
- Gọi \( EB = y \).
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHB \), ta có \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
- Do đó, \( AB = AE + EB = x + y \).

3. **Sử dụng định lý hình chữ nhật**:
- Trong tam giác vuông \( AHE \), \( EH \) là chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( AB \) và \( AE \) vuông góc với \( EF \).
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( AHE \):
\[
AH^2 + EH^2 = AE^2
\]
và
\[
AH^2 + EH^2 = OH^2 \quad (O \text{ là trung điểm của } EB)
\]
Từ đây ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

4. **Chứng minh**:
Từ tam giác \( AHE \) và điểm \( H \) là chân đường cao, ta có:
\[
AE \cdot EB = EH^2 \quad (1)
\]
Tức là sản phẩm đoạn \( AE \) và đoạn \( EB \) bằng bình phương đoạn \( EH \).

Tóm lại, ta đã sử dụng các tính chất của tam giác vuông và định ly Pythagore để chứng minh rằng \( AE \cdot EB = EH^2 \).