Để chứng minh các phần trong đề bài này, ta sẽ tiến hành từng bước rõ ràng:

### a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh AC và HE song song:**
- I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của H qua I, nên HI = IE.
- Do đó, AC // HE (vì trung điểm và đối xứng).

2. **Chứng minh AH // CE:**
- AH là đường cao, tức là vuông góc với BC.
- Trong tam giác vuông ABC, đường thẳng CE nối C với E (điểm được xác định bởi I và H) cũng sẽ vuông góc với AH.

3. **Chứng minh các góc AHCE đều bằng 90 độ:**
- Khi AC // HE và AH // CE, ta suy ra các góc tại các đỉnh A, H, C, E đều bằng 90 độ.

Do đó, tứ giác AHCE có hai cặp cạnh song song và mỗi góc đều bằng 90 độ nên ta có tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh HG = GK = KE.

1. **Chứng minh HG = GK:**
- M là trung điểm của HC, do đó HM = MC.
- K là giao điểm của AN với HE, trong khi N là trung điểm của CE, suy ra HK = KE.
- Khi HK = KE, mà M là trung điểm, nên HG = GK.

2. **Chứng minh GK = KE:**
- N là trung điểm của CE, nên nó chia CE thành hai đoạn bằng nhau.
- K nằm giữa G và E, với G là giao điểm của AM và HE, và K là giao điểm của AN và HE.
- Suy ra, GK cũng sẽ bằng KE.

Do đó, ta có HG = GK = KE theo các lập luận trên.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.