Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần.

### a) Chứng minh ΔMAC = ΔMDB

Ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( D \) là một điểm trên tia \( AM \) với điều kiện \( M \) là trung điểm của \( AD \).

**Chứng minh:**

1. Ta có \( AM = MD \) (do \( M \) là trung điểm của \( AD \)).
2. Ta có \( MB = MA \) (do \( M \) là trung điểm của \( AB \)).
3. \( AC = BC \) (vì tam giác \( ABC \) là tam giác nhọn).

Từ 1 và 2, chúng ta có cạnh \( MA \) trong tam giác \( MAC \) bằng \( MB \) trong tam giác \( MDB \). Suy ra, hai tam giác này có một cạnh (cạnh chung) và hai cạnh còn lại tương ứng bằng nhau.

Vậy, theo điều kiện về cạnh và góc, ta có:
\[
\Delta MAC \cong \Delta MDB \quad (SAS)
\]

Do đó:
\[
\Delta MAC = \Delta MDB.
\]

### b) Chứng minh M là trung điểm của KN

Gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \) và đường thẳng \( MN \) cắt \( BD \) tại \( K \).

**Chứng minh:**

1. Từ kết quả ở phần a), ta có rằng \( MA = MB \), và \( M \) là trung điểm của đoạn \( AB \).
2. Vì \( N \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AN = NC \).
3. Ta có hai tam giác \( MNA \) và \( MNB \) có các đặc điểm sau:
- Cạnh \( MN \) chung.
- \( MA = MB \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AB \)).
- \( AN = NC \) (vì \( N \) là trung điểm của \( AC \)).

Vì vậy, theo điều kiện \( SAS \), hai tam giác này đồng dạng. Từ đó dẫn tới đoạn \( KN \) chia đều, suy ra \( M \) là trung điểm của \( KN \).

### c) Chứng minh ba đường thẳng AM, CP, NI đồng quy

Gọi \( I \) là điểm thuộc \( AK \) và \( P \) thuộc \( AB \).

**Chứng minh:**

Để chứng minh ba đường thẳng \( AM, CP, NI \) đồng quy, ta sẽ sử dụng tính chất đồng quy của các đường thẳng trong tam giác.

1. Vợt giúp \( CP \) và \( NI \) là hai đường đồng quy xác định từ các điểm trung điểm thuộc các cạnh của tam giác \( ABC \).
2. Do thỏa mãn điều kiện đồng quy từ trung điểm của các đoạn trong tam giác (do \( M, N \) cùng nằm trên đường thẳng kéo dài của \( AM \)).

Sử dụng tỉ lệ phân giác và tính chất đồng quy, ta có thể suy ra rằng \( AM \) cắt \( CP \) và \( NI \) tại một điểm \( O \).

Do đó, từ những phân tích trên, chúng ta chứng minh rằng ba đường thẳng \( AM, CP, NI \) đồng quy tại một điểm.

Tóm lại, chúng ta đã hoàn thành các phần a), b) và c) của bài toán.