Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a: Chứng minh \( \Delta MAC \cong \Delta MDB \)

Ta có:

- \(M\) là trung điểm của cả \(AB\) và \(AD\).
- Từ giả thiết, ta có \( M \) là trung điểm của \( AD \), do đó \( AM = MD \).

Xét tam giác \( \Delta MAC \) và \( \Delta MDB \):

- Có \( AM = MD \) (do M là trung điểm của AD).
- Có \( AC = BD \) vì chúng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác này.
- \( CM = MB \) (M là trung điểm của AB).

Theo định lý Saussure, nếu hai tam giác có hai cạnh và góc giữa chúng bằng nhau thì chúng đồng dạng.

Vậy, từ đó suy ra \( \Delta MAC \cong \Delta MDB \).

Từ đó suy ra:

- Các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau, tức là \( \angle MAC = \angle MDB \).
- Từ đó, ta có thể viết rằng \( BD \parallel AC \) theo định lý góc đồng vị trong hai tam giác bằng nhau.

### Phần b: Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( KN \)

Đặt \( N \) là trung điểm của \( AC \).

Vì \( BD \parallel AC \), ta có hệ quả rằng \( MN \) cắt \( BD \) tại \( K \).

- Ta cần chứng minh rằng \( MK = KN \).
- Theo tính chất đường thẳng cắt nhau, chúng ta có:

Từ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có:

\[
\frac{MK}{KN} = \frac{AM}{MD} = 1
\]

Do đó, \( MK = KN \). Như vậy, \( M \) là trung điểm của \( KN \).

### Phần c: Chứng minh ba đường thẳng \( AM, CP, NI \) đồng quy

Gọi \( I \) và \( P \) lần lượt là các điểm thuộc \( AK \) và \( AB \).

Chúng ta cần chứng minh 3 đường thẳng \( AM, CP, NI \) đồng quy. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( AIC \) với các đường thẳng \( AM, CP, NI \).

Theo định lý Menelaus:

- Nếu đường thẳng \( AM \) cắt cạnh \( IC \) tại \( P \), và \( CP \) cắt bên còn lại tại điểm \( Q \), thì khi đó \( AM, CP \) cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

Ta sẽ chỉ ra rằng ba đường thẳng này đồng quy thông qua thiết lập tỉ lệ đoạn thẳng.

- Có \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).

Theo các tính chất của tam giác và trung điểm, ta chứng minh rằng:

\[
\frac{AI}{IC} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1
\]

Từ đó có thể rút ra được rằng \( AM, CP, NI \) đồng quy tại một điểm.

Vậy ta có kết quả cuối cùng của bài toán: ba đường thẳng \( AM, CP, NI \) đồng quy.