Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a:
Đầu tiên, từ tỷ số đã cho:

\[
\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}
\]

Gọi \( k \) là hằng số tỉ lệ, ta có:

\[
x = 3k, \quad y = 4k, \quad z = 5k
\]

Tiến hành thay vào phương trình \( 2x - 3y + z = 6 \):

\[
2(3k) - 3(4k) + 5k = 6
\]
\[
6k - 12k + 5k = 6
\]
\[
- k = 6 \implies k = -6
\]

Thay giá trị của \( k \) vào các phương trình:

\[
x = 3(-6) = -18,\quad y = 4(-6) = -24,\quad z = 5(-6) = -30
\]

Vậy kết quả cho phần a là:

\[
x = -18, \quad y = -24, \quad z = -30
\]

### Phần b:
Cho các phương trình:

1. \( 6x = 30y \) \(\Rightarrow x = 5y\)
2. \( 5z = 2x - y \) (sử dụng \( x = 5y \))

Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
5z = 2(5y) - y \implies 5z = 10y - y \implies 5z = 9y \implies z = \frac{9y}{5}
\]

Tiếp theo, thay vào phương trình thứ ba:

\[
2x - y + z = -45
\]
\[
2(5y) - y + \frac{9y}{5} = -45
\]
\[
10y - y + \frac{9y}{5} = -45
\]
\[
9y + \frac{9y}{5} = -45
\]
\[
\frac{45y + 9y}{5} = -45 \implies 54y = -225 \implies y = -\frac{225}{54} = -\frac{25}{6}
\]

Tìm \( x \) và \( z \):

\[
x = 5y = 5 \left(-\frac{25}{6}\right) = -\frac{125}{6}
\]
\[
z = \frac{9y}{5} = \frac{9}{5} \left(-\frac{25}{6}\right) = -\frac{15}{2}
\]

Kết quả cho phần b là:

\[
x = -\frac{125}{6}, \quad y = -\frac{25}{6}, \quad z = -\frac{15}{2}
\]

### Phần c:
Có hai phương trình:

1. \( 2x = 5y \quad \Rightarrow x = \frac{5y}{2} \)
2. \( x^2 + y^2 = 261 \)

Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
\left(\frac{5y}{2}\right)^2 + y^2 = 261
\]
\[
\frac{25y^2}{4} + y^2 = 261
\]
\[
\frac{25y^2 + 4y^2}{4} = 261 \implies \frac{29y^2}{4} = 261 \implies 29y^2 = 1044 \implies y^2 = \frac{1044}{29} = 36
\]
\[
y = 6 \quad \text{(vì y có thể dương hoặc âm)}
\]

Tìm \( x \):

\[
x = \frac{5(6)}{2} = 15
\]

Và từ đó:

\[
x^2 + y^2 = 15^2 + 6^2 = 225 + 36 = 261
\]

Kết quả cho phần c là:

\[
x = 15, \quad y = 6
\]

### Tổng kết:

- Phần a: \( x = -18, y = -24, z = -30 \)
- Phần b: \( x = -\frac{125}{6}, y = -\frac{25}{6}, z = -\frac{15}{2} \)
- Phần c: \( x = 15, y = 6 \)