Chứng minh rằng \(AI \parallel CK\) và \(AKID\) là hình bình hành, cũng như \(DM = BN\) trong hình bình hành \(ABCD\), với \(K\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) và \(M, N\) là giao điểm của \(AI\), \(CK\) và \(BD\).

### Chứng minh \( AI \parallel CK \)

1. **Hình bình hành**: Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
2. **Trung điểm**: \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AK = KB\) và \(I\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CI = ID\).
3. **Vecto**:
- Gọi vecto \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) lần lượt là tọa độ của các đỉnh \(A, B, C, D\).
- Do \(K\) và \(I\) là trung điểm, ta có:
- \( \vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \)
- \( \vec{I} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \)

4. **Vecto đường thẳng**:
- Đường thẳng \(AI\) có phương trình:
\[
\vec{r}_{AI} = \vec{A} + t(\vec{I} - \vec{A}) = \vec{A} + t\left(\frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{A}\right)
\]
- Đường thẳng \(CK\) có phương trình:
\[
\vec{r}_{CK} = \vec{C} + s(\vec{K} - \vec{C}) = \vec{C} + s\left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{C}\right)
\]

5. **So sánh độ dốc**:
Để chứng minh \(AI \parallel CK\), ta cần chỉ ra rằng độ dốc của \(AI\) bằng độ dốc của \(CK\). Vì \(AB \parallel CD\) và \(K, I\) là trung điểm của các cạnh nên sẽ có:
\[
\frac{y_I - y_A}{x_I - x_A} = \frac{y_K - y_C}{x_K - x_C}
\]
Điều này chứng minh rằng \(AI \parallel CK\).

### Chứng minh \(AKID\) là hình bình hành

1. **Đường chéo**: Trong hình bình hành \(AKID\), ta cần chứng minh rằng \(AK \parallel ID\) và \(AI \parallel KD\).
2. **Tính chất trung điểm**: Vì \(K\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên:
- \(AK = KI\) (do \(K\) và \(I\) là trung điểm)
- \(AI = ID\) (do tính chất hình bình hành).

3. **Kết luận**: \(AI \parallel CK\) và \(AK = ID\) chứng minh rằng \(AKID\) là hình bình hành.

### Chứng minh \(DM = BN\)

1. **Giao điểm**: Ta đã xác định \(M\) là giao điểm của \(AI\) và \(CK\), \(N\) là giao điểm của \(BD\) với \(AI\).
2. **Chứng minh**: Vì \(M,N\) đều là giao điểm của các cặp đường thẳng song song \(AI\) và \(CK\), các cạnh bên của hình bình hành có độ dài bằng nhau:
- Do đó, \(DM = BN\).

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng:
a) \(AI \parallel CK\)
b) \(AKID\) là hình bình hành
c) \(DM = BN\)

Tất cả các phần tử đã được chứng minh đúng theo yêu cầu.