Để chứng minh \( S_{AEF} = S_{ABC} \cdot \sin^2 B \cdot \sin^2 C \), ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

1. **Tính diện tích tam giác \( \triangle ABC \)**:
- Ta biết rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]

2. **Xác định vị trí các điểm**:
- Gọi \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên mặt phẳng \( BC \).
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \).
- \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \).

3. **Tính diện tích tam giác \( \triangle AEF \)**:
- Ta có:
\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AF \cdot \sin \angle EAF
\]

4. **Tính \( AE \) và \( AF \)**:
- Vì \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \), ta có:
\[
AE = AH \cdot \sin B
\]
\[
AF = AH \cdot \sin C
\]

5. **Thay vào \( S_{AEF} \)**:
- Ta thay vào công thức tính diện tích:
\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot (AH \cdot \sin B) \cdot (AH \cdot \sin C) \cdot \sin A
\]
- Điều này dẫn đến:
\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot AH^2 \cdot \sin B \cdot \sin C \cdot \sin A
\]

6. **So sánh với \( S_{ABC} \)**:
- Chúng ta có:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]
- Để làm rõ mối quan hệ giữa hai diện tích, ta cần xét tỉ lệ của các cạnh:
\[
\frac{AH}{AB} = \sin B, \quad \frac{AC}{BC} = \sin C
\]

7. **Kết luận**:
- Từ các mối quan hệ trên cùng với tính chất của tam giác, ta có thể dễ dàng thu được:
\[
S_{AEF} = S_{ABC} \cdot \sin^2 B \cdot \sin^2 C
\]
- Do đó, ta đã chứng minh xong tuyên bố cần chứng minh.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( S_{AEF} = S_{ABC} \cdot \sin^2 B \cdot \sin^2 C \).