Trong tam giác vuông ABC tại A, theo định lý Pythagore ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Gọi \( AB = 8k \) và \( AC = 15k \) (vì tỉ lệ \( \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15} \)).

Thay vào phương trình trên ta có:

\[
BC^2 = (8k)^2 + (15k)^2
\]
\[
BC^2 = 64k^2 + 225k^2
\]
\[
BC^2 = 289k^2
\]

Vì \( BC = 51 \), ta có:

\[
51^2 = 289k^2
\]
\[
2601 = 289k^2
\]
\[
k^2 = \frac{2601}{289}
\]
\[
k^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad k = 3
\]

Bây giờ ta tính \( AB \) và \( AC \):

\[
AB = 8k = 8 \times 3 = 24
\]
\[
AC = 15k = 15 \times 3 = 45
\]

Vậy, kết quả là:

\[
AB = 24, \quad AC = 45
\]