Tìm x để M = P . Q nhận giá trị âm

Để tìm giá trị của \(x\) sao cho \(M = P \cdot Q\) nhận giá trị âm, trước tiên chúng ta cần tìm biểu thức của \(P\) và \(Q\):

1. **Tính \(P\)**:
\[
P = \frac{x+1}{x+2} + \frac{3x + 2}{x^2 - 4}
\]
Chúng ta nhận thấy \(x^2 - 4\) có thể phân tích thành \((x-2)(x+2)\). Do đó, có thể đưa về mẫu chung:
\[
P = \frac{(x+1)(x^2-4) + (3x + 2)(x+2)}{(x+2)(x^2-4)}
\]
Tính \( (x+1)(x^2 - 4)\):
\[
(x+1)(x^2 - 4) = x^3 + x^2 - 4x - 4
\]
Tính \( (3x + 2)(x + 2)\):
\[
(3x + 2)(x + 2) = 3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x^2 + 8x + 4
\]
Quốc gia các điều này:
\[
P = \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4 + 3x^2 + 8x + 4}{(x+2)(x^2-4)}
\]
\[
= \frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{(x+2)(x^2-4)} = \frac{x(x^2 + 4x + 4)}{(x+2)(x^2-4)} = \frac{x(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)(x + 2)}
\]
\[
= \frac{x(x + 2)}{x - 2} \quad (x \neq -2)
\]

2. **Tính \(Q\)**:
\[
Q = \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 2x}
\]
Simplifying:
\[
= \frac{(x-2)(x-3)}{3x} \quad (x \neq 0)
\]

3. **Tính \(M\)**:
\[
M = P \cdot Q = \left(\frac{x(x + 2)}{x - 2}\right) \cdot \left(\frac{(x-2)(x-3)}{3x}\right)
\]
\[
= \frac{(x + 2)(x - 3)}{3}
\]

4. **Để M âm**:
\[
\frac{(x + 2)(x - 3)}{3} < 0
\]
Điều này dẫn đến:
\[
(x + 2)(x - 3) < 0
\]

5. **Giải bất phương trình**:
Để giải bất phương trình này, ta cần tìm nghiệm của:
\[
x + 2 = 0 \implies x = -2
\]
\[
x - 3 = 0 \implies x = 3
\]
Dựa vào các nghiệm, chúng ta có bảng dấu:
- Khi \(x < -2\): \((-\infty, -2) \Rightarrow (+) \)
- Khi \(-2 < x < 3\): \((-2, 3) \Rightarrow (-) \)
- Khi \(x > 3\): \((3, +\infty) \Rightarrow (+) \)

Vậy, \( (x + 2)(x - 3) < 0 \) trên khoảng \((-2, 3)\).

Kết luận:
Giá trị của \(x\) để \(M = P \cdot Q\) nhận giá trị âm là:
\[
x \in (-2, 3)
\]