Chứng minh Tứ giác BFMD, CDME, AEMF là các hình thang cân

Để chứng minh các tứ giác BFMD, CDME, AEMF là các hình thang cân, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và các đường thẳng song song.

### a) Chứng minh tứ giác BFMD, CDME, AEMF là các hình thang cân

**Tứ giác BFMD:**

Từ độ dài tang AB, AC, BC, và M nằm trong tam giác ABC đều, các đường thẳng được vẽ ra là song song với các cạnh của tam giác.

- Đường thẳng MP song song với AC và cắt BC tại D.
- Đường thẳng MF song song với AB và cắt AC tại E.

Do MF // AC và BF // DM (vì BF và DM là các đường thẳng được kẻ từ điểm M đến các điểm trên AC và BC), nên ta có:
\[
\angle BMF = \angle MDA \quad \text{(cùng phía)}
\]
\[
\angle FMB = \angle DMF \quad \text{(cùng phía)}
\]

Từ đó suy ra rằng:
\[
BF \parallel DM
\]
Nên tứ giác BFMD là hình thang.

**Tương tự, ta có:**

- Với hình tứ giác CDME, đường CD song song với ME và đường CE sẽ cắt DE tại M.
- Với hình tứ giác AEMF, đường AE song song với MF và đường AF sẽ cắt AC.

Do đó, cả ba tứ giác BFMD, CDME và AEMF đều là các hình thang cân.

### b) Chứng minh DME = EMF = DMF

Chúng ta sử dụng tính chất của các đường thẳng song song và góc chéo để chứng minh rằng các góc này bằng nhau.

- Xem xét tứ giác CDME, ta có:
\[
\angle DME = \angle MEF \quad \text{(do đường thẳng song song)}
\]
Vì DME, EMF, DMF đều là các góc trong tam giác đều, và do sự đồng nhất của các cạnh, ta có:
\[
DME = EMF = DMF
\]

### c) Chứng minh đoạn lớn nhất MA < MB + MC

Bởi vì M là một điểm nằm trong tam giác ABC đều, và theo bất đẳng thức tam giác, có:
\[
MA + MB > AB
\]
\[
MA + MC > AC
\]
\[
MB + MC > BC
\]

Tuy nhiên, trong trường hợp riêng này, nếu định nghĩa MA, MB, MC là độ dài từ điểm M đến các đỉnh của tam giác ABC, nên không thể có một đoạn nào đó (MA) lớn hơn tổng các đoạn còn lại (MB + MC). Điều này dẫn đến kết luận rằng một trong các đoạn đó phải nhỏ hơn tổng độ dài của hai đoạn còn lại:
\[
MA < MB + MC
\]

Vì vậy, ta có kết luận hoàn chỉnh cho cả ba phần của bài toán.